BAB I
PENDAHULUAN
·
KAIDAH PENCACAHAN
Tahunajaran
2014/2015
Disusunoleh :
Tama AscharaDewaSaputra
24/XI AV 2
Kata Pengantar
Puji
syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah,
Taufik dan Hinayahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini
dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana. Semoga makalah ini dapat
dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca
dalam administrasi pendidikan dalam profesi keguruan.
Harapan
saya semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para
pembaca, sehingga saya dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga
kedepannya dapat lebih baik.
Makalah
ini saya akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang saya miliki sangat
kurang. Oleh kerena itu saya harapkan kepada para pembaca untuk memberikan
masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.
Yogyakarta, Februari 2015
Penyusun
iii
Daftar isi
Kata
pengantar ………………………………………………………………iii
Daftar isi ....…………………………………………………………………. v
Latarbelakang………………………………...………………………..…….. 1
Kajianteori……………………………....……….……………………..……. 2
Bab II…………………………………………………………………………..5
Bab III..............................................................................................................16
Daftar
Pustaka...................................................................................................VV
V
A. Latar
Belakang
Pencacahan (counting)
adalah bagian dari matematika kombinatorial. Persoalan kombinatorik bukan
merupakan persoalan yang baru dalam kehidupan nyata. Banyak persoalan
kombinatorik yang sederhana telah diselesaiakan dalam masyarakat. Misalkan,
saat pemilihan pemain untuk tim sepak bola yang terdiri dari 11 pemain. Apabila
ada20 orang ingin membentuk suatu tim sepak bola, ada berapa kemungkinan
komposisi pemain yang dapat terbentuk?
Contoh lain adalah
dalam menentukan sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh
berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat?
Tetapi selain itu para ilmuwan pada berbagai bidang juga kerap menemukan
sejumlah persoalan yang harus diselesaikan. Pada makalah ini, kita akan
membahas tentang kombinatorik, kaidah pencacah dengan materi aturan penjumlahan
dan aturan perkalian.
Kombinatorika adalah
studi tentang pengaturan objek-objek, yaitu pemasangan, pengelompokan,
pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek- objek dengan karakteristik
tertentu. Topik ini mulai berkembang sejak abad ketujuh belas, yakni diawali
dengan tulisan Gottfried Wilhelm Leibniz yang berjudul Dissertio
de Arte Combinatorica. Selanjutnya, kombinatorika semakin berkembang pesat
dengan beragam aplikasinya di berbagai bidang, seperti kimia, biologi, fisika,
dan komunikasi.
Pembahasan mengenai
kombinatorika diawali dengan pengenalandua kaidah pencacahan, yaitu
kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Kedua kaidah ini sangat bermanfaat
untuk menyelesaikan masalah yang kompleks dengan cara memecah
atau mengurai masalah tersebut
menjadi beberapa bagian yang lebih sederhana yang
selanjutnya dapat diselesaikan dengan
kedua kaidah tersebut. Misalnya, kaidah pencacahan bermanfaat untuk menentukan apakah
terdapat cukup nomor telepon atau alamat internet protokol
untuk memenuhi permintaan pelanggan.
B. Perumusan
Masalah
Dari latar belakang
di atas penulis dapat merumuskan masalah sebagai berikut :
1. Apa hubungan
kombinatorika dengan kaidah pencacah?
2. Bagaimana
menghitung dengan memakai aturan penjumlahan?
3. Bagaimana
menghitung dengan memakai aturan perkalian?
C. Tujuan
Penulisan
Dari latar latar
belakang dan perumusan masalah di atas penulis dapat menuliskan tujuan
penulisan sebagai berikut :
1. Mengetahui
tentang kombinatorika
2. Memahami
tentang konsep dasar menghitung.
3. Memahami
tentang aturan penjumlahan dan perkalian.
4. Tugas mata
kuliah matematika diskrit.
D. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan makalah ini terdiri dari :
BAB I PENDAHULUAN
Di dalam bab
pendahuluan meliputi latar belakang, perumusan masalah, tujuan penulisan, dan
sistematika penulisan.
BAB II KAJIAN TEORI
Di dalam bab kajian teori
meliputi pengertian dari kaidah pencacahan, dasar-dasar menghitung dengan
aturan penjumlahan, perkalian maupun penjumlahan tak langsung.
BAB III PENUTUP
Di dalam bab penutup
atau bab terakhir, penulis menuliskan kesimpulan akhir dari kajian teori dan
menuliskan saran untuk para pembaca.
1
DAFTAR PUSTAKA
Di dalamnya terdapat
referensi buku yang dipakai dalam penulisan makalah ini.
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Pengertian Kaidah Pencacahan
Enumerasi atau
pencacahan merupakan bahasan awal dari matematika diskret yang digunakan
sebagai alat dasar untuk mempelajari materi-materi lainnya yang umumnya
bersifat kombinatorik. Disamping itu ia juga mempunyai aplikasi di banyak area
seperti: teori peluang, statistika, teori graf, teori koding,
kriptografidan analisis algoritme. Materi pembahasannya akan ditekankan pada:
·
Aturan penjumlahan
·
Aturan perkalian
·
Permutasi dan Kombinasi
·
Kombinasi dengan Pengulangan.
Namun yang dibahas
pada makalah ini tentang aturan penjumlahan dan aturan perkaliannya.
B. Konsep
Dasar Pencacahan
Dalam kehidupan
sehari-hari kita sering dihadapkan dengan masalah penghitungan. Misalnya ada
berapa cara yang dapat dilakukan pada saat memasukan
sebuah kelereng ke dalam sebuah kantung, begitu pula
apabila memasukan beberapa kelereng ke dalam beberapa kantung, berapa cara
memilih wakil dari bebarapa kelompok mahasiswa dan masih banyak
lagi kasus yang lain. Salah satu prinsip dasar yang mendasari
perkembangan probabilitas terutama yang terkait dengan masalah
penghitungan adalah konsep dasar pencacahan. Ada dua perinsip dasar
pada konsep dasar pencacahan yaitu aturan penjumlahan dan aturan
perkalian.
1. Aturan
Penjumlahan (Rule Of Sum)
Kaidah
penjumlahan menganut prinsip umum bahwa keseluruhan sama dengan jumlah dari
bagian-bagiannya. Secara umum, kaidah penjumlahan dijelaskan sebagai berikut:
“Jika pekerjaan jenis pertama
dapat dilakukan dengan m cara, pekerjaan jenis kedua
dapat dilakukan dengan n cara, dan kedua jenis pekerjaan itu
tidak dapat dilakukan secara simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan
tugas-tugas tersebut adalah m + n cara”.
Secara umum dirumuskan sebagai berikut:
“Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah
pekerjaan, T1, T2, …, Tm, yang masing-masing dapat dilakukan dengan cara,
dan setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat dilakukan secara bersamaan,
maka akan ada cara untuk melakukan pekerjaan ini”.
Contoh:
1.Di dalam suatu laboratorium komputer
ada 4 printer (merk) jenis laserjet dan 6 printer jenis deskjet.
Jawab: Jika seorang praktikan diperbolehkan
menggunakan kedua jenis printer tersebut, maka ada 4 + 6 = 10 printer yang bisa
dipilih untuk dipakai.
2. Aturan jumlah dapat diperluas untuk lebih dari
dua tugas. Misalnya, seorang instruktur laboratorium komputer memiliki 4 jenis
buku bahasa pemrograman: 5 buku (judul) tentang C++, 4 buku
tentang FORTRAN, 3 buku tentang Java, dan 5 buku tentang Pascal.
Jawab: Jika seorang praktikan dianjurkan untuk
meminjam satu buku bahasa pemrograman dari sang instruktur, maka ada 5 + 4 + 3
+ 5 = 17 buku yang bisa dia pinjam.
2
2. Aturan
Perkalian (Rule Of Product)
Secara umum
dirumuskan sebagai berikut:
“Jika suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua tahap,
dan jika tahap pertama menghasilkan m keluaran yang mungkin
dan masing-masing keluaran dilanjutkan ke tahap kedua dengan n keluaran
yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan m x n keluaran
yang mungkin”.
Kaidah perkalian sebgaimana
dikemukakan di atas dapat pula dipahami sebagai kaidah pengisian tempat yang
tersedia yang diilustrasikan sebagai berikut. Berapa banyak password (kata
kunci) dengan panjang 5 angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4,
dan 5 jika tidak boleh ada angka berulang?
Beberapa contoh password itu
adalah :
12345,
23415,
54231,
Dan seterusnya.
Perhatikan bahwa 22341, 1234, atau 522341 bukan
contoh passworddimaksud. Mengapa?
Untuk dapat menentukan banyaknya cara dimaksud, dapat
dilakukan secara sistematis sebgai berikut. Kita sediakan 5 tempat yang dapat
ditempati 5 angka yang disediakan.
Tempat ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Banyak
cara
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
·
Tempat pertama dapat diisi dengan 5 cara, yakni angka
1, 2, 3, 4, 5
·
Tempat kedua dapat diisi dengan 4 cara
·
Demikian seterusnya, tempat kelima dapat diisi dengan
1 cara.
·
Dengan demikian, total banyaknya cara adalah
cara.
Ketika kita menghitung banyaknya
cara menyusun password di atas, kita telah menggunakan kaidah
pengisian tempat yang tersedia, yang secara umum dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan:
: banyaknya cara mengisi
tempat pertama
: banyaknya cara mengisi
tempat kedua setelah tempat pertama terisi
: banyaknya cara mengisi
tempat ke-k setelah (k – 1) tempat
sebelumnya terisi.
C. Aturan Perkalian
dan Aturan Penumlahan Dalam Operasi Himpunan
Aturan penjumlahan dan aturan perkalian dapat juga
dinyatakan kedalam teori himpunan. Pada aturan penjumlahan, misalkan
adalah himpunan-himpunan yang tak beririsan (disjoint). Maka
banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari himpunan-himpunan ini adalah:
Pada aturan perkalian, misalkan adalah
himpunan-himpunan yang berhingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu
anggota dari masing-masing himpunan dengan urutan adalah kardinalitas
dari perkalian Kartesian semua himpunan tersebut
Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh: berapa banyak bit string dengan panjang 8 bit yang bias dimulai dengan
“1” atau berakhir dengan “00”?
Pekerjaan – 1
Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang dimulai dengan
1.
Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (1),
Dua cara untuk mengambil bit kedua (0 atau 1),
Dua cara untuk mengambil bit ketiga (0 atau 1),
. . . .
Dua cara untuk mengambil bit kedelapan (0 atau 1)
Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan 1 dapat
dilakukan dengan I.27 = 128 cara.
Pekerjaan – 2
Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang berakhir
dengan 00.
Ada dua cara untuk mengambil bit pertama (0 atau 1),
Dua cara untuk mengambil bit kedua (0 atau 1),
. . . .
Dua cara untuk mengambil bit keenam (0 atau 1),
Satu cara untuk mengambil bit ketujuh (0), dan
Satu cara untuk mengambil bit kedelapan (0).
Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan 2 dapat
dilakukan dengan 26 = 64 cara.
Karena ada 128 buah cara untuk melakukan pekerjaan 1
dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, apakah ini berarti ada 192 buah bit
string 8 bit berawalan dengan 1 dan berakhiran dengan 00? Pekerjaan 1 dan
pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu yang sama, dimana ketika kita melakukan
pekerjaan 1 dan membuat string yang diawali dengan 1, beberapa dari string ini
berakhiran 00. Karena kadangkala kita bias melakukan pekerjaan 1 dan 2 pada
saat bersamaan, maka aturan penjumlahan tidak berlaku.
Jika ingin
menggunakan aturan penjumlahan dalam kasus ini, maka harus mengurangkan
kasus-kasus dimana pekerjaan 1 dan 2 dilakukan secara bersamaan dari total
kemungkinan. Ada berapa banyak kasus yang demikian, yaitu berapa banyak string
yang berawalan dengan 1 dan berakhiran dengan 00?
Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (1),
Ada dua cara untuk bit yang kedua (0 atau 1)
. . . .
Keenam (0 atau 1),
Ada satu cara untuk bit ketujuh (0),
Dan satu cara untuk bit kedelapan (0).
Berdasarkan aturan perkalian, maka ada 25 = 32 buah
kasus, dimana pekerjaan 1 dan 2 dapat dikerjakan secara bersamaan.
Karena terdapat 128 cara untuk melakukan pekerjaan 1
dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, dan 32 diantaranya kedua pekerjaan
tersebut dilakukan pada saat yang bersamaan, maka sebenarnya ada 128 + 64 – 32
= 160 cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan pekerjaan 2 (tak bersamaan). Di
dalam teori himpunan A1 dan A2 yang tidak beririsan. Maka kita punya:
yang disebut sebagai prinsip inklusi-eksklusi.
Kaidah
pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan
yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Sebelumnya, perhatikan
peristiwa berikut yang dekat dengan kehidupan sehari-hari.
Dua orang akan
dipilih sebagai ketua dan wakil ketua OSIS dari empat orang calon terbaik di
sekolah. Dewan Kehormatan dibentuk untuk melaksanakan tugas tersebut. Dewan
Kehormatan terdiri dari perwakilan tiap kelas dengan membawa aspirasi kelas.
Misalkan calon-calon itu adalah Roni, Agus, Wini, dan Bimo. Ada berapa susunan
ketua-wakil ketua yang harus dipertimbangkan oleh Dewan Kehormatan?
Peristiwa di
atas adalah sekelumit contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan kaidah
pencacahan.
1. Aturan
pengisian tempat
Pada penyelesaian masalah menggunakan aturan pengisian tempat, kita mendaftar semua kemungkinan hasil secara manual. Ada beberapa cara pendaftaran dalam aturan ini, tiga diantaranya akan kita bahas, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan pasangan terurut.
Diagram Pohon
Sebelumnya kita peerhatikan bahwa pada pemilihan pasangan ketua-wakil ketua, pasangan (Bimo, Wini) berbeda dengan (Wini, Bimo) karena yang disebut pertama menjadi ketua dan yang disebut kedua menjadi wakil ketua. Berikut daftar kemungkinan ketua dan wakil ketua.
Dari pendaftaran menggunakan diagram pohon, maka Dewan Kehormatan harus mempertimbangkan 12 susunan pasangan untuk dipilih menjadi ketua-wakil ketua.
Tabel Silang
Misalkan kita ingin menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan tabel silang. Karena semua kemungkinan akan berupa pasangan n(ketua, wakil ketua), kita tuliskan komponen pertama (calon ketua) di bagian kolom dan komponen kedua (calon wakil ketua) di bagian baris. Pasangan-pasangan (kolom, baris) menunjukkan hasil-hasil yang mungkin terjadi pada pemilihan.
Dengan menghitung semua pasangan yang mungkin, maka dapat disimpulkan bahwa Dewan Kehormatan harus mempertimbangkan 12 susunan (ketua, wakil ketua). Namun, tabel silang sulit diterapkan dalam kasus pemilihan yang lebih banyak, misalkan memilih 11 pemain dari 22 pemain sepak bola. Lebih jauh dari itu, tabel silang hanya bisa digunakan untuk memilih pasangan saja.
Pasangan Terurut
Masalah tersebut dapat kita selesaikan dengan pasangan terurut sebagai berikut. Misalkan A = {Roni, Agus, Wini, Bimo} adalah himpunan calon ketua dan wakil ketua. Dengan aturan bahwa seseorang tidak diperbolehkan merangkap jabatan dan pasangan (x,y) dalam kedudukannya, maka pasangan terurut dari A adalah: {(Roni, Agus), (Roni, Wini), (Roni, Bimo), (Agus, Wini), (Agus, Bimo), (Wini, Bimo), (Agus, Roni), (Wini Roni), (Bimo, Roni), (Wini, Agus), (Bimo, Agus), (Bimo, Wini)}.
Jumlah pasangan terurut dari A adalah 12. Dengan demikian, dewan Kehormatan harus mempertimbangkan 12 susunan untuk posisi (ketua, wakil ketua).Pada penyelesaian di atas, seolah-olah kita melakukan pemiliihan dalam dua tahap, yaitu:
Pada penyelesaian masalah menggunakan aturan pengisian tempat, kita mendaftar semua kemungkinan hasil secara manual. Ada beberapa cara pendaftaran dalam aturan ini, tiga diantaranya akan kita bahas, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan pasangan terurut.
Diagram Pohon
Sebelumnya kita peerhatikan bahwa pada pemilihan pasangan ketua-wakil ketua, pasangan (Bimo, Wini) berbeda dengan (Wini, Bimo) karena yang disebut pertama menjadi ketua dan yang disebut kedua menjadi wakil ketua. Berikut daftar kemungkinan ketua dan wakil ketua.
Dari pendaftaran menggunakan diagram pohon, maka Dewan Kehormatan harus mempertimbangkan 12 susunan pasangan untuk dipilih menjadi ketua-wakil ketua.
Tabel Silang
Misalkan kita ingin menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan tabel silang. Karena semua kemungkinan akan berupa pasangan n(ketua, wakil ketua), kita tuliskan komponen pertama (calon ketua) di bagian kolom dan komponen kedua (calon wakil ketua) di bagian baris. Pasangan-pasangan (kolom, baris) menunjukkan hasil-hasil yang mungkin terjadi pada pemilihan.
Dengan menghitung semua pasangan yang mungkin, maka dapat disimpulkan bahwa Dewan Kehormatan harus mempertimbangkan 12 susunan (ketua, wakil ketua). Namun, tabel silang sulit diterapkan dalam kasus pemilihan yang lebih banyak, misalkan memilih 11 pemain dari 22 pemain sepak bola. Lebih jauh dari itu, tabel silang hanya bisa digunakan untuk memilih pasangan saja.
Pasangan Terurut
Masalah tersebut dapat kita selesaikan dengan pasangan terurut sebagai berikut. Misalkan A = {Roni, Agus, Wini, Bimo} adalah himpunan calon ketua dan wakil ketua. Dengan aturan bahwa seseorang tidak diperbolehkan merangkap jabatan dan pasangan (x,y) dalam kedudukannya, maka pasangan terurut dari A adalah: {(Roni, Agus), (Roni, Wini), (Roni, Bimo), (Agus, Wini), (Agus, Bimo), (Wini, Bimo), (Agus, Roni), (Wini Roni), (Bimo, Roni), (Wini, Agus), (Bimo, Agus), (Bimo, Wini)}.
Jumlah pasangan terurut dari A adalah 12. Dengan demikian, dewan Kehormatan harus mempertimbangkan 12 susunan untuk posisi (ketua, wakil ketua).Pada penyelesaian di atas, seolah-olah kita melakukan pemiliihan dalam dua tahap, yaitu:
1. Ketika kita
memilih ketua dari empat calon yang ada.
2. Pada saat
kita memilih wakil ketua dari tiga orang calon sisanya yang belum terpilih.
Karena masing-masing dari empat calon ketua berkemungkinan berpasangan dengan
tiga calon lainnya, maka banyaknya cara memasangkan mereka ada 4 ∙ 3 = 12 cara.
Situasi seperti di atas
menginspirasikan para ahli matematika untuk merumuskan kaidah penjumlahan dan
perkalian sebagai berikut.
Sumber:
Masrihani,
Tuti, dkk. 2008. Matematika untuk SMK dan MAK Kelas XI. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
Noormandiri,
2004. Matematika untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Dua prinsip dasar yang digunakan
dalam menghitung (counting) yaitu aturan pejumlahan dan aturan
perkalian.
1. PrinsipPenjumlahan
Jika suatu himpunan A terbagi
kedalam himpunan bagian A1, A2, …, An, maka jumlah unsur pada himpunan A akan
sama dengan jumlah semua unsur yang ada pada setiap himpunan bagian A1, A2, …,
An.
Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan,
setiap himpunan bagian A1, A2, …, An tidak saling tumpang tindih (salinglepas).
Untuk himpunan yang saling tumpang tindih tidak berlaku lagi prinsip
penjumlahan, dan ini harus diselesaikan dengan prinsip inklusi-eksklusi yang
akan dibahas kemudian.
Contoh1 :
Seorang guru SD di daerah, mengajar murid kelas 4,
kelas 5 dan kelas 6.Jika jumlah murid kelas 4 adalah 25 orang dan jumlah muri
di kelas 5 adalah 27 orang serta jumlah murid kelas 6 adalah 20 orang,
maka jumlah murid yang diajar guru tersebut adalah 25 + 27 + 20 = 72 murid.
Contoh2 :
Seorang mahasiswa ingin membeli
sebuah motor. Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis dari
tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki 2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan.
Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunya pilihan sebanyak 3 + 2
+ 2 = 7 pilihan.
2. Prinsip Perkalian
Misalkan sebuah prosedur dapat
dipecah dalam dua penugasan. Penugasan pertama dapat dilakukan dalam n1 cara,
dan tugas kedua dapat dilakukan dalamn2,cara setelah tugas
pertama dilakukan. Dengan demikian, dalam mengerjakan prosedur tersebut ada (n1 x n2)
cara. Secara tidak langsung, pada prinsip perkalian, bisa terjadi saling
tumpang tindih (tidak saling lepas).
Contoh :
Seorang guru SD di daerah, mengajar murid kelas 4,
kelas 5 dankelas 6.Misalkan, jumlah murid kelas 4 adalah 25 orang dan jumlah
murid kelas 5 adalah 27 orang serta jumlah murid kelas 6 adalah 20 orang. Jika
guru tersebut ingin memilih tiga orang murid dari anak didiknya, dimana seorang
murid dari setiap kelas, maka guru tersebut mempunyai 25 x 27 x 20 = 13.500
cara dalam memilih susunan tiga murid tersebut.
B. KaidahPencacahan
Kaidah pencacahan atau Caunting
Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung
berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa.
Kaidah pencacahan terdiriatas :
a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),
b. Permutasi, dan
c. Kombinasi.
PengisianTempat yang Tersedia (Filling Slots)
Apabila suatu peristiwa pertama
dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat
dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n,
maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di
mana:
K = k1 x k2x . . . x kn
K sering disebut dengan istilah banyaknya tempat yang
tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian.
Penentuan ruang sampel pada aturan
perkalian terdiri atas 3 cara, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan pasangan
terurut.
1. Diagram Pohon
Diagram
pohon merupakan suatu metode yang di tempuh dalam menentukan banyak cara dengan
terjadi dalam sebuah peristiwa biasanya berbentuk pohon karena bercabang
.
Contoh:
Sebuah perusahaan mengadakan rapa tuntuk memilih
calon-calon yang akan menduduki posisi sebagai bendahara dan sekretaris. Untuk
menduduki posisi tersebut diajukan 2 orang calon bendahara, yaitu Pak Dodi, Pak
Adidan 3 calon sekertaris Pak Andi, Bu Susi, Bu Tina. Ada berapakah susunan
pengurus bendahara dan sekertaris dalam pemilihan tersebut?
Jawab:
Anda dapat mengurutkan susunan posisi yang akan
menduduki jabatan sebagai bendahara dans ekretaris dengan menggunakan diagram
pohon berikut.
BENDAHARA
|
Andi
|
SEKERTARIS
|
=
DodidanAndi
|
PASANGAN PENGURUS
|
= Dodidan
Susi
|
Susi
|
= Dodidan
Tina
|
Tina
|
Dodi
Andi
|
=
AdidanAndi
|
= Adidan
Susi
|
Susi
|
= Adidan
Tina
|
Tina
|
Adi
2. Tabel Silang
Metode table
silang adalah metode yang digunakan dalam menentukan suatu cara dalam sebuah
peristiwa yang biasanya disajikan dalam bentuk tabel.
Contoh:
|
Andi
|
Susi
|
Tina
|
||
Dodi
|
DodidanAndi
|
Dodidan Susi
|
Dodidan Tina
|
||
Adi
|
AndidanAndi
|
Adidan Susi
|
Adidan Tina
|
3. PasanganTerurut
Misalkan himpunan warna celana
dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B = {k,m,p,u}.
Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k),
(h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan
pasangan terurutada 8 macam warna
Contoh:
Jika dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari
Bandung ke Jakarta ada 3 jalan.Berapa banyak jalan
yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?
Jawab:
Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung
ke Jakarta ada 3 jalan.Jadi, seluruhnyaada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh.
Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, dan
Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris, dan bendahara
dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus kelas.
Banyak cara 3 orang dipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajari
melalui uraian berikut. Amati Gambar 1.
 |
Gambar 1. Aturan perkalian pemilihan pengurus kelas.
|
a. Untuk ketua kelas (K)
Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu
Algi (A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).
Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara.
b. Untuk Sekretaris (S)
Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang
maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang belum terpilih
menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara.
c. Untuk Bendahara (H)
Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi
maka posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat oleh orang yang
belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih
3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah :
3 × 2 × 1 = 6 cara.
Uraian tersebut akan lebih jelas apabila mengamati
skema berikut.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan aturan
perkalian? Cobalah nyatakan aturan perkalian itu dengan kata-kata Anda sendiri.
Aturan Perkalian :
Misalkan,
• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.
Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan
adalah n = n1 × n2 × n3 ...
× nk.
Contoh Soal 1 :
Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi
seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas
SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak
takraw yang melakukan sepak permulaan).
Jawaban :
• Untuk posisi tekong.
Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15
atlet pelatnas yang tersedia.
• Untuk posisi apit kiri.
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1
atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).
• Untuk posisi apit kanan.
Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara
dari 13 atlet yang ada (2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong
dan apit kiri).
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk
memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730 cara.
Ingatlah :
Apabila terdapat n buah tempat yang akan diduduki oleh
n orang, terdapat :
n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1 cara orang menduduki
tempat tersebut.
2.
Faktorial
Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan
untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6
cara.
Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3!
(dibaca 3 faktorial). Jadi,
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Dengan penalaran yang sama,
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720
Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi :
a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan
n bilangan asli, untuk n ≥ 2.
b. 1! = 1
c. 0! = 1
Contoh Soal 2 :
Hitunglah :
a. 7!
b. 17! / 0!16!
c. 12! / 2!8!
d. 8! / 5!
Penyelesaian :
Contoh Soal 3 :
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial:
a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2)
Penyelesaian :
Contoh Soal 4 :
3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!
Pembahasan :
(n + 3)! =
10(n + 2)!
|
↔ (n
+3)(n + 2)! = 10(n + 2)!
|
↔ n +
3 = 10 0
|
|
↔ n =
7
|
B. Peluang
Anda sekarang sudah mengetahui Pencacahan, Aturan
Perkalian, dan Faktorial. Terima kasih
anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pencacahan
(counting) adalah bagian dari matematika kombinatorial. Persoalan kombinatorik
bukan merupakan persoalan yang baru dalam kehidupan nyata. Materi pembahasannya
akan ditekankan pada:
·
Aturan penjumlahan
“Jika tugas jenis pertama
dapat dilakukan dengan m cara, tugas jenis kedua dapat dilakukan
dengan n cara, dan kedua jenis tugas itu tidak dapat
dilakukan secara simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas-tugas
tersebut adalah m + n cara”.
·
Aturan perkalian
“Jika suatu prosedur
dapat dipecah menjadi duatahap, dan jika tahap pertama
menghasilkan m keluaran yang mungkin dan
masing-masing keluaran dilanjutkan ke tahap
kedua dengan n keluaran yang mungkin, maka
prosedur tersebut akan menghasilkan m x n keluaran yang
mungkin”.
·
Permutasi dan Kombinasi
·
Kombinasi dengan Pengulangan.
Aturan
penjumlahan dan perkalian merupakan pengertian dasar
untuk memahami bahasan-bahasan selanjutnya yang berkenaan dengan kombinatorika.
B. Saran
Kaidah pencacah
adalah dasar penghitungan, jadi sangatlah penting untuk diketahui dan
dipelajari. Kaidah pencacah ini dari aturan penjumlahan sampai kombinasi denan
pengulangan, namun yang kami bahas disini hanya aturan penjumlahan dan
perkalian maka dari itu kami berharap untuk mencari referensi buku atau makalah
yang lain supaya pengetahuan tentang kaidah pencacah lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan
Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta : Andi.
Budayasa, K. 1995. Matematika Diskret I. Surabaya:
Universitiy Press IKIP.
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit.
Yogyakarta: Graha Ilmu
Masrihani,
Tuti, dkk. 2008. Matematika untuk SMK dan MAK Kelas XI. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
Noormandiri,
2004. Matematika untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika
2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
VV
Tidak ada komentar:
Posting Komentar